Raadsels

Dit document bevat een collectie aan wiskunderaadsels. Bij elk raadsel wordt de moeilijkheid aangeduid met één tot vijf sterren. Hoe meer sterren, des te moeilijker is het raadsel.

  1. Kabouter cheerleaders

    kabouters *

  2. In een bos hier ver vandaan woont een groep van honderd kabouters. Op een dag besluiten deze kabouters dat ze niet langer in het geheim in het bos willen leven. Ze zouden graag hun bestaan aan de mensheid uiten. Om zoveel mogelijk mensen tegelijk te bereiken met hun boodschap, besluiten de kabouters dat ze een cheerleadvoorstelling gaan doen tijdens de halftimeshow van de superbowl.

    Na veel oefenen is de dag van de superbowl eindelijk aangebroken. De kabouters wachten in de kleedkamer tot ze één voor één het veld op moeten lopen. Hierbij doet zich echter een probleem voor. Elke kabouter draagt namelijk een puntmuts die ofwel rood ofwel blauw is. Voor hun routine moeten de kabouters zich opstellen in een rij op zo'n manier dat de rode en blauwe kabouters op kleur gesorteerd zijn. De kabouters weten alleen van zichzelf niet welke kleur puntmuts ze ophebben. Ook is het een groot taboe onder kabouters om te praten (of op een andere manier te communiceren) over de kleur van andermans muts.

    De kabouters moeten dus één voor één het veld op en zonder overleg moeten ze in een rij gaan staan zodanig dat de kabouters met rode mutsen aan de ene kant van de rij staan en de kabouters met blauwe mutsen aan de andere kant. Hoe lossen de kabouters dit op?

  3. Oplossing.

  4. De eerste kabouter gaat in het midden van het veld staan. De tweede kabouter gaat aan een willekeurige kant naast de eerste staan. Als de derde kabouter twee verschillende mutsen op het veld ziet staan, dan gaat hij tussen de rode en blauwe muts in staan. Als de eerste twee kabouters dezelfde kleur muts dragen, dan sluit de derde kabouter aan een willekeurig uiteinde van de rij aan. Alle volgende kabouters gebruiken dezelfde strategie als kabouter drie. Zij gaan tussen de scheiding van rode en blauwe kabouters instaan. Als er niet zo'n scheiding is, dan gaan zij aan een willekeurig uiteinde van de rij staan. De rij blijft zo na elke nieuwe kabouter gesorteerd.

  1. De kabouterrij: deel 1

    kabouters *

  2. In een bos hier ver vandaan woont een groep van honderd kabouters. Deze kabouters worden al tijden belaagd door een kwaadaardige reus. Op een dag lukt het de reus om alle kabouters gevangen te nemen.

    Hij besluit een sadistisch raadspel te spelen met zijn net gevangen prooien. Door een magische spreuk betoverd hij de kabouters zodat ze niet meer kunnen praten. Dan plaatst hij alle honderd kabouters in een rij, zodat elke kabouter alleen de kabouters voor zich kan zien. Ook zet hij bij elke kabouter een gekleurde kaboutermuts op. Deze muts is of rood of blauw.

    De kabouters kunnen hun eigen muts niet zien, maar wel de mutsen van alle kabouters voor hun in de rij. Vervolgens gaat de reus een voor een de rij met kabouters af beginnende bij de achterste kabouter, die dus alle andere kabouters en hun kleur muts kan zien. Wanneer de reus bij een kabouter aankomt wordt tijdelijk de betovering opgeheven zodat de kabouter die aan de beurt is één woord kan zeggen: ofwel 'rood' ofwel 'blauw'. Zegt de kabouter de kleur van zijn eigen muts dan wordt hij vrijgelaten. Raadt hij verkeerd, dan wordt hij door de reus opgegeten.

    Alle kabouters kunnen wel horen welk antwoord gegeven is. Ook kunnen ze aan het gekraak van kabouterbotjes horen of het antwoord klopte of niet. Zo gaat de reus door tot hij langs alle honderd kabouters geweest is.

    De kabouters in kwestie waren al een tijd op de hoogte van het gevaar van de reus. Nog voordat de kabouters gevangen werden genomen, hadden zij een vergadering bijeen geroepen om zich op exact dit scenario voor te bereiden. Tijdens deze vergadering komt een slimme kabouter met een plan waarmee het zeker is dat minstens vijftig van de honderd kabouters het sadistische spel overleven.

    Wat is het plan van deze kabouter?

  3. Oplossing.

  4. Voor het gemak geven we elke kabouter in de rij een nummer. De achterste kabouter in de rij, die het eerst aan de beurt is, krijgt nummer $1$, de één na achterste nummer $2$, enzovoorsts, tot en met de voorste die nummer $100$ krijgt.

    Het voorstel van de slimme kabouter is om elke kabouter die in de rij een oneven nummer krijgt, de kleur van de hoed van de kabouter voor hem te laten zeggen. Op deze manier weten alle even genummerde kabouters welke kleur hoed ze hebben op het moment dat ze moeten raden. De vijftig oneven kabouters zullen dan zeker overleven en de oneven kabouters hebben evenveel kans om te overleven als wanneer ze zomaar zouden gokken.

    Een ander voorstel met hetzelfde resultaat is dat de achterste kabouter telt hoeveel van elke kleur hoedje hij ziet. Hij roept de kleur die het meest voorkomt in de rij van negenenegentig kabouters die hij voor zich ziet. Vervolgens gokken alle andere kabouters dezelfde kleur die kabouter $1$ geroepen heeft. Er zijn namelijk minstens vijftig hoedjes van de meest voorkomende kleur.

  1. De kabouterrij: deel 2

    kabouters ***

  2. Dit raadsel gaat verder met het verhaal van de kabouters uit raadsel [1]. Zodra een van de kabouters tijdens de vergadering had uitgelegd hoe er vijftig kabouters gered kunnen worden springt er een andere kabouter op. Deze kabouter vertelt dat hij een nog beter plan heeft, waamee hooguit één kabouter zal worden opgegeten en de andere negenenegentig kabouters zeker zullen overleven. Wat is het plan van deze andere kabouter?

  3. Oplossing.

  4. Wederom geven we elke kabouter in de rij een nummer. De achterste kabouter in de rij, die het eerst aan de beurt is krijgt nummer $1$, de één na achterste nummer $2$, enzovoorsts, tot en met de voorste die nummer $100$ krijgt.

    Het nieuwe voorstel is als volgt: Kabouter $1$ telt of hij een even of oneven aantal rode hoedjes ziet. Ziet hij een even aantal rode hoedjes, dan antwoord hij 'rood' en anders 'blauw'. Kabouter $1$ loopt hiermee de kans zelf opgegeten te worden. Kabouter $2$ weet nu of de eerste kabouter een even of oneven aantal rode hoedjes zag. Als kabouter $2$ dezelfde pariteit (In de wiskunde is pariteit de rest van een geheel getal bij deling door twee. De pariteit is dus $0$ bij een even getal en $1$ bij een oneven getal.) aan rode hoedjes ziet als kabouter $1$, dan weet kabouter $2$ dat hij zelf een blauw hoedje draagt. Ziet hij een aantal hoedjes dat niet overeenkomt met het antwoord van kabouter $1$, dan moet hij een rood hoedje dragen. Zo kan kabouter $2$ achterhalen welke kleur hoedje hij op heeft.

    Omdat kabouter $3$ ook weet welk hoedje kabouter $2$ draagt, kan ook hij met het antwoord van kabouter $1$ achterhalen welk hoedje hij zelf op heeft. Alle volgende kabouters kunnen op dezelfde manier afleiden welke kleur hoedje ze ophebben, door rekening te houden met de antwoorden van alle kabouters achter zich.

  1. Het Monty Hall-probleem

    kansrekening ***

  2. Een van de meest bekende wiskunderaadsels is het Monty Hall-probleem, genoemd naar de Amerikaanse televisiepresentator van het programma 'Let's make a deal' uit de jaren 70. Zoals Monty Hall zelf uitlegt komt het scenario van het raadsel niet daadwerkelijk voor in het programma, maar is het wel op dit programma geïnspireerd.

    Het raadsel gaat als volgt. Stel je bent deelnemer van een spelprogramma op televisie. De presentator laat je drie deuren zien en vertelt dat achter één van de deuren een gloednieuwe sportauto staat en achter de andere twee deuren een geit. Als deelnemer mag je één van de deuren kiezen en win je de prijs achter de gekozen deur. Echter, in plaats van de gekozen deur te openen, opent de presentator een van de twee andere deuren en laat zien dat hierachter een geit zit. Hij geeft je nu nog een laatse kans om te wisselen naar de andere nog niet geopende deur.

    Als je je kans op het winnen van de auto wilt maximaliseren, is het dan verstandig om te wisselen, om juist niet te wisselen of maakt wisselen niks uit voor je winstkansen?

  3. Oplossing.

  4. De beste optie is om van deur te wisselen. Dan heb je een $\tfrac{2}{3}$ kans dat je de auto wint.

    Als je besluit te wisselen win je de auto namelijk zolang hij niet achter de deur zat die je in het begin gekozen hebt. De kans daarop, dat wil zeggen, dat je bij je eerste keus de deur met de auto kiest, is $\tfrac{1}{3}$. De kans dat je wint is dan $\tfrac{2}{3}$. Als je niet wisselt heb je slechts $\tfrac{1}{3}$ kans op het winnen van de auto.

    Het Youtubekanaal Numberphile heeft een video gemaakt waarin dit probleem wordt besproken.

  1. De dronken passagier

    kansrekening ***

  2. Je bent op het vliegveld aan het wachten in de rij van de boarding passcontrole. Het vliegtuig heeft honderd stoelen en is helemaal volgeboekt. Jij staat helemaal achteraan de rij van honderd passagiers. Elke passagier heeft een eigen stoel gereserveerd. Helaas is de eerste passagier in de rij stomdronken. Zodra hij door de controle heen is en het vliegtuig binnenkomt gaat hij willekeurig op een van de honderd stoelen zitten. De andere passagiers gaan wel op hun eigen plek zitten, behalve als hun eigen plek al bezet is. Niemand wil iemand anders wegsturen van de stoel waarop hij zit, dus zodra een passagier ziet dat zijn eigen stoel al bezet is gaat hij zelf willekeurig op een van de overgebleven vrije stoelen zitten. Wat is de kans dat, wanneer jij als laatste passagier het vliegtuig binnenkomt, jij op je eigen stoel kunt gaan zitten?

  3. Oplossing.

  4. Er is een kans van $\tfrac{1}{2}$ dat jouw stoel nog vrij is. Zodra er een passagier op de stoel van de dronken man gaat zitten, gaan alle volgende passagiers gewoon op hun eigen plaats zitten. Dan kun jij dus ook op je eigen plaats zitten. Zodra er een passagier op jouw stoel gaat zitten, dan kunnen alle volgende passagiers ook op hun eigen plaats gaan zitten en eindig jij op de stoel van de dronken passagier.

    De dronken passagier en alle volgende passagiers waarvan de stoel bezet is bij binnenkomst hebben allemaal evenveel kans om op jouw stoel te gaan zitten als om op de stoel van de dronken persoon te kiezen.

    Het volgt dat de kans dat er iemand op de stoel van de dronken persoon gaat zitten evengroot is als de kans dat iemand op jouw stoel gaat zitten. Dus zijn beide kansen $\tfrac{1}{2}$.

  1. De twee broers

    logica *

  2. Stel je bent verdwaald op een eiland. Je bent op zoek naar het dorpje, waarvan je weet dat die er moet zijn, maar je hebt geen idee welke kant je op moet. Je komt aan op een t-splitsing en je wilt weten of je naar links of naar rechts toe moet. Gelukkig zitten er twee mannen bij de splitsing aan wie je de weg kan vragen. Bij de twee mannen staat een bord met de tekst:

    Wij zijn twee broers. Één van ons spreekt altijd de waarheid; de ander liegt altijd.

    Hoe kun je door slechts één vraag aan een van de twee broers te stellen, toch achterhalen welke kant het dorp op is?

  3. Oplossing.

  4. Stel aan een van de twee broers de vraag: 'Zou je broer zeggen dat het dorp naar rechts is?' Als de broer 'ja' antwoord, dan moet je naar links en als hij 'nee' antwoord, dan moet je naar rechts.

  1. De lieveheersbeestjes

    logica **

  2. Op een tafeltje in een park ligt een schaakbord. Helaas is dit schaakbord stuk gegaan. Het is nog steeds vierkant, maar het heeft nog maar zeven rijen en zeven kolommen.

    Op een dag besluit een groep van 49 lieveheersbeestjes om allemaal op één van de 49 vakjes van het schaakbord te gaan zitten. Elk lieveheersbeestje heeft dus zijn eigen vakje op het schaakbord. Op een gegeven moment springen alle lieveheersbeestje spontaan naar een van de buurvakjes van het vakje waar zij op zaten. Een vakje in het midden van het bord heeft vier buurvakjes, een vakje aan de rand drie en een vakje in de hoek twee. Elk lieveheersbeestje kiest met gelijke kans een van de mogelijke buurvakjes. Wat is de kans dat nadat de lieveheersbeestjes versprongen zijn er opnieuw precies één lieveheersbeestje op elk vakje van het schaakbord zit?

  3. Oplossing.

  4. Dit is onmogelijk. Dit schaakbord bevat 49 vakjes. Dit betekent dat er niet evenveel witte als zwarte vakjes op dit schaakbord zitten. Omdat bij het verspringen elk lieveheersbeestje op een vakje van een andere kleur springt, moeten er minstens twee lieveheersbeestjes op hetzelfde vakje landen.